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    Anlage 3

     

     

    Prüfung der Wasserverteilung

     

    Wassertröge, die im Steinkohlenbergbau in Form von Wassertrogsperren zum Schutz gegen Kohlenstaubexplosionen verwendet und für diese Verwendung vom Landesoberbergamt gemäß § 220 Abs. 1 BVOSt vom 20.2.1970 zugelassen werden sollen, werden u.a. einer Prüfung unterzogen, bei der ein gefüllter Trog einem Druckstoß ausgesetzt und die damit erzeugte Wasserverteilung durch Infrarot-Absorption gemessen wird. Als Meßergebnis erhält man für jeden Trogtyp eine den durchgeführten Versuchen entsprechende Anzahl von Wertepaaren, wobei jeweils dem Winddruck ein Infrarot-Absorptionswert zugeordnet ist. Aus diesen, mit einer gewissen Streuung behafteten Meßwerten wird durch ein mathematisches Auswerteverfahren eine für die Beurteilung des Trogs charakteristische Meßzahl errechnet.

    Die Auswertung einer Vielzahl von Wassertrogprüfungen hinsichtlich der Wasserverteilung unter der Einwirkung eines Druckstoßes ergab, daß die Meßwerte durch eine e-Funktion in der Form

    A = 1 - e-b(p - p0 ) (1)

    am besten angenähert werden können. Sie entspricht in ihrem Aufbau der Funktionsgleichung in Abschnitt 3.3.1.4. In der Gleichung (1) sind A der Infrarot-Absorptionskoeffizient, der dem dynamischen Druck p zugeordnet ist, p0 der Druck, der eben noch keine meßbare Wasserverteilung erzeugt und b der zur Beurteilung herangezogene Exponential-Koeffizient. Er ist ein Maß für die Steilheit der Kurve. Es zeigte sich, daß für die Randwerte p0  und die maximal mögliche Infrarot-Absorption Festwerte angenommen werden können. Die einzelnen Tröge unterscheiden sich dann nur noch durch den im Exponenten vorhandenen Faktor b, der mit Hilfe der kleinsten Fehlerquadrate mit den Methoden der Ausgleichsrechnung aus den Meßwerten ermittelt werden kann.

    Die unmittelbare Anwendung der Methode der kleinsten Fehlerquadrate auf die obengenannte e-Funktion führt zu einer Lösung, bei der die gesuchte Größe b im Exponenten in einer Summe von unterschiedlichen Exponentialfunktionen steht, so daß eine geschlossene Lösung nicht mehr möglich ist und ein numerisches Näherungsverfahren nur recht zeitraubend und für jede einzelne Trogauswertung gesondert durchgeführt werden mußte. Durch eine geeignete Linearisierungstransformation der e-Funktion kann diese Schwierigkeit umgangen werden. Die Fehlerausgleichsrechnung liefert zwar eine brauchbare Lösung, jedoch hat diese Transformation die Eigenschaft, höher liegende Absorptionswerte unverhältnismäßig weiter nach oben zu transformieren, als es den wirklichen Gegebenheiten entspricht. So wird z.B. ein bei der höchstmöglichen Absorption liegender Meßpunkt ins Unendliche transformiert. Durch diese Eigenschaft der Linearisierungstransformation liegen die damit gewonnenen Kurven erheblich höher, liefern also scheinbar bessere Werte, als sie es tatsächlich sind. Um diese Schwierigkeit zu bewältigen, wurde als Bezugskurve eine Normkurve der
    angegebenen Art aufgestellt, die allein der Linearisierungstransformation unterworfen wird. Von jedem Meßpunkt wird die Differenz zur Normkurve gebildet und diese Differenz zur transformierten Normkurve addiert. Diese Meßwertübertragung erzeugt keine Verzerrungen, ist eindeutig, liefert aber einen Fehler, der um so größer wird, je weiter die Absorptionskurve von der Normkurve entfernt ist. Meßwertverteilungen, die der Normkurve entsprechen, werden jedoch richtig wiedergegeben. Aus diesem Grund mußte als Normkurve diejenige genommen werden, die der Forderung an die Wassertröge bezüglich der Wasserverteilung genügt, wonach bei einem Winddruck von 50 mbar eine Absorption von 0,7 (70%) vorhanden sein muß. Damit sind die genannten Schwierigkeiten behoben, und wie die Auswertung der vorhandenen Messungen von Wassertrögen zeigt, genügt dieses Verfahren den gestellten Forderungen:

    1. Es erlaubt eine Beurteilung des Trogs,
    2. es liefert bei gegebenen Meßwerten ein eindeutiges Ergebnis und
    3. es gibt den Verlauf der Meßwerte (Infrarot-Absorption) in Abhängigkeit vom Winddruck ausreichend genau wieder.

    In der skizzierten Weise verläuft auch die Rechnung. Die Funktion

    A = 1 - e-b(p-p0 ) (1),

    die das Absorptionsverhalten A als Funktion des Winddrucks p wiedergibt, wird zunächst in der Form

    eb(p - p0 ) = (1/1 - A) (2)

    geschrieben, um dann durch Logarithmieren in die lineare Form

    b(p - p0 ) log e = log (1/1 - A) (3) oder

    b x = y (4)

    überführt zu werden, wobei

    x = (p - p0 ) log e (5) und

    y = log (1/1 - A) (6)

    ist. Die in diesen Gleichungen benutzten Symbole haben folgende Bedeutung:

    A = Absorptions-Koeffizient der Infrarotstrahlung durch die Wasserverteilung,
    p = Winddruck
    p0 = der Winddruck, bei dem noch keine meßbare Wasserverteilung erzeugt wird,
    b = Exponential-Koeffizient, der die Steilheit der Kurve bestimmt und als Beurteilungsgrundlage dient,
    x = transformierte Größe des Winddrucks und
    y = transformierte Größe der Absorption.

    Im folgenden müssen diese Größen entsprechend ihrer Herkunft mit Indizes unterschieden werden. Dafür werden noch folgende Bezeichnungen eingeführt:

    Ein n zeigt an, daß diese Größe dem n-ten Meßpunkt zugeordnet ist, ein M heißt, daß es sich hier um einen Meßwert handelt und ein ' bedeutet, daß dieses eine Größe der Normkurve ist.

    Die Gleichung (4) muß nun einer gegebenen Verteilung von Meßwerten angepaßt werden. Als Randwerte werden die maximale Absorption A (wenn p gegen unendlich geht) als Apparatekonstante mit 0,95 der höchstmöglichen Absorption und der Winddruck p0 mit 20 mbar festgelegt.

    Die Größe b muß nun mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate bestimmt werden.

    Diese Methode besagt, daß die beste Annäherung einer Kurve an eine gegebene Punktschar dann gegeben ist, wenn die über die Punktschar quadrierte und summierte Differenz zwischen jedem einzelnen Meßpunkt und der gesuchten Kurve ein Minimum wird. Auf diese Weise wird ein arithmetisches Mittel zwischen den Meßpunkten gebildet. Es wird also zunächst die Differenz zwischen dem n-ten Meßpunkt und der Kurve an der Stelle n gebildet

    yn - yMn' (7)

    die dann quadriert und über alle Meßpunkte addiert wird

    S n (yn - yMn )2 (8).

    Diese Summe soll in Abhängigkeit vom Kurvenparameter b ein Minimum werden. Also muß yn durch die Gleichung (4) ersetzt werden,

    S n (bxn - yMn)2 (9),

    dann nach b differenziert und gleich 0 gesetzt werden, was zu der gesuchten Bestimmungsgleichung

    b = ( S n xn yMn / S n xn 2 ) (10)

    führt.

     

    Hier trat die Schwierigkeit auf, daß die nac Gleichung (6) transformierten Meßwerte yMn einseitig verzerrt werden. Diese Verzerrung muß durch eine abgewandelte Transformation beseitigt werden.
    Es wird eine Normkurve

    A' = 1 - e-b'(p - p0 ) (11)

    eingeführt, in der b' so bestimmt wird, daß für p = 50 mbar A' = 0,7 ist.

    Diese Normkurve entspricht also der Kurve eines Troges, der gerade eben den Forderungen genügt. Nur diese Gleichung wird der Transformation (5) und (6) unterzogen, was an der Stelle des n-ten
    Meßpunktes zu der Beziehung

    x'n = (pn - p0 ) log e (12)

    y'n = log (1/1 - A'n ) (13)

    zwischen den transformierten und nichttransformierten Größen der Normkurve führt. Damit ist der für die Fehlerrechnung notwendigen Linearisierung Genüge getan, und die Meßwerte können als Differenz zur nichttransformierten Normalkurve (Gleichung (11) ) der transformierten Normalkurve hinzugefügt werden. Das ergibt die Beziehung

    yMn - y'n = AMn - A'n (14),

    mit der festgelegt wird, daß der Abstand der transformierten Meßgröße von der transformierten Normkurve genau so groß sein soll, wie der entsprechende in dem nichttransformierten System. Daraus folgt für die Meßwerte die Transformationsgleichung

    yMn = AMn - A'n + y'n (15),

    womit auch diese ohne Verzerrungen übertragen werden. Die praktische Auswertung erfolgt nach der Gleichung (10), wobei sich für jeden der n-Meßpunkte die x-Werte nach der Gleichung (5) und die dazugehörigen yMn -Werte aus der Gleichung (15) errechnen.